Một sợi dây kim loại dài $ 60{ \rm{ cm } } $ được cắt thành hai đoạn. Đoạn dây thứ nhất uốn thành hình vuông cạnh $ a $, đoạn dây thứ hai uốn thành đường tròn bán kính $ r $. Để tổng diện tích của hình vuông và hình tròn là nhỏ nhất thì tỉ số $ \frac { a } { r } $ bằng?

Độ dài đoạn dây bằng $ 60{ \rm{ cm } } $, cạnh hình vuông bằng $ a $, bán kính đường tròn bằng $ r $ nên ta có: $ 4a+2\pi r=60⇔r=\frac { 30-2a } { \pi }\left ( { 1 } \right ) $. Gọi $ S $ là tổng diện tích của hình vuông và hình tròn, suy ra $ S=a ^ { 2 } +\pi r ^ { 2 } \left ( { 2 } \right ) $. Thay $ \left ( { 1 } \right ) $ vào $ \left ( { 2 } \right ) $ ta được $ S=a ^ { 2 } +\frac { \left ( { 30-2a } \right ) ^ { 2 } } { \pi } $. Khi đó $ S'=2a-\frac { 4\left ( { 30-2a } \right ) } { \pi }=\frac { \left ( { 2\pi +8 } \right ) a-120 } { \pi } $. Cho $ S'=0⇔a=\frac { 60 } { \pi +4 } $. Bảng biến thiên. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy $ S $ nhỏ nhất khi $ a=\frac { 60 } { \pi +4 } ⇒r=\frac { 30 } { \pi +4 } $. Vậy $ \frac { a } { r }=2 $.