Cho dãy số $ (u_{ n } ) $biết $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} u_{ 1 } =2 \ u_{ n+1 } =\frac { u_{ n } ^{ 2 }+1 } { 4 } \begin{array}{ll} & ∀n∈\mathbb{N} ^ { * } \ \end{array} \ \end{array} \end{array} ight. $ Mệnh đề nào sau đây đúng?

Question

Cho dãy số $ (u_{ n } ) $biết $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} u_{ 1 } =2 \ u_{ n+1 } =\frac { u_{ n } ^{ 2 }+1 } { 4 } \begin{array}{ll} & ∀n∈\mathbb{N} ^ { * } \ \end{array} \ \end{array} \end{array} ight. $ Mệnh đề nào sau đây đúng?

Beedemy · Accepted Answer

B. Dãy số giảm Lời giải: Chọn B Dự đoán dãy giảm sau đó chứng minh $ u_{ n+1 } -u_{ n } < 0 $ bằng quy nạp toán học Chú ý: Từ giả thiết suy ra $ u_{ n } >0\ ∀n∈\mathbb{N} ^ { * } $ Ta có $ u_{ 2 } -u_{ 1 } =\frac { 5 } { 4 }-2=\frac { -3 } { 4 } < 0 $ Giả sử $ u_{ k+1 } -u_{ k } < 0,∀k≥1 $ Xét hiệu $ u_{ k+2 } -u_{ k+1 } =\frac { u_{ k+1 } ^{ 2 }+1 } { 4 }-\frac { u_{ k } ^{ 2 }+1 } { 4 }=\frac { 1 } { 4 }\left ( { u_{ k+1 } +u_{ k } } \right )\left ( { u_{ k+1 } -u_{ k } } \right ) < 0 $ Theo nguyên lý quy nạp suy ra $ u_{ n+1 } -u_{ n } < 0,∀n∈\mathbb{N} ^ { * } $ Vậy dãy số $ (u_{ n } ) $ giảm

Cho dãy số $ (u_{ n } ) $biết $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} u_{ 1 } =2 \\ u_{ n+1 } =\frac { u_{ n } ^{ 2 }+1 } { 4 } \begin{array}{ll} & ∀n∈\mathbb{N} ^ { * } \\ \end{array} \\ \end{array} \end{array} \right. $ Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cùng dạng: Dãy số tăng, dãy số giảm — kiểm tra và chứng minh