Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ hình bình hành. Gọi $ M,N $ lần lượt là trung điểm của $ SA,SB $; $ P $ là điểm thuộc đoạn $ BC $ sao cho $ BP=3PC $. Giao điểm của $ SD $ và mặt phẳng $ \left ( { MNP } \right ) $ là điểm $ H $. Tính tỉ số $ \frac { HS } { HD } $

Trên mặt phẳng $ \left ( { ABCD } \right ) $ gọi $ Px\,//\,CD⇒Px∩AD=Q ⇒Q=AD∩(PMN) $. Trên mặt phẳng $ \left ( { SAD } \right ) $ có: $ \frac { AM } { SA }=\frac { 1 } { 2 };\frac { AQ } { AD }=\frac { BP } { BC }=\frac { 3 } { 4 } $. Suy ra: $ MQ $ không song song với $ SD $. Kéo dài $ MQ $ cắt $ SD $ tại $ H⇒H=SD∩(PMN) $. Gọi $ I $ là trung điểm của $ SD $ ta có $ QD\,//\,MI,\,QD=\frac { 1 } { 2 }MI⇒D $ là trung điểm của $ HI ⇒HD=\frac { 1 } { 3 }HS⇒\frac { HS } { HD }=3 $.