Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm $O$. Trên $SO$ lấy điểm $I$ sao cho $SI = \frac{3}{4}SO$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $SB$. Đường thẳng $AD$ và mặt phẳng $(IMN)$ giao nhau tại $P$. Tính $AP : PD$?

Lời giải Trong mặt phẳng $(SAC)$, gọi $Q$ là giao điểm đường thẳng $MI$ và đường thẳng $AC$ nên $Q \in (IMN) \cap (ABCD)$. Đường thẳng $AD$ và mặt phẳng $(IMN)$ giao nhau tại $P$ nên $P \in (IMN) \cap (ABCD)$. Gọi $d = (IMN) \cap (ABCD)$, suy ra $d \equiv PQ$ (1). Do $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $SB$ nên $MN \parallel AB$. Mặt khác, $MN \subset (IMN)$ và $d \subset (ABCD)$, suy ra $MN \parallel AB \parallel d$ (2). Từ (1) và (2) suy ra $P$ là giao điểm của đường thẳng đi qua $Q$ và song song với $AB$ trong mặt phẳng $(ABCD)$. Qua $I$ kẻ đường thẳng song song với $AM$ cắt $AC$ tại $K$. Ta có: $$ \frac{KQ}{AQ} = \frac{KI}{AM} = \frac{2KI}{SA} = 2 \cdot \frac{IO}{SO} = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{OQ + KO}{AO + OQ} = \frac{1}{2} $$ Mà $KO = \frac{1}{4}AO$ nên $OQ = \frac{1}{2}AO$. Suy ra $Q$ là trung điểm của $OC$ hay $AQ : QC = 3$. Lại có $PQ \parallel AB \Rightarrow PQ \parallel CD$. Do đó: $AP : PD = AQ : QC = 3$.