Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Hai điểm $M, N$ thứ tự là trung điểm của các cạnh $AB, SC$. Gọi $I, J$ theo thứ tự là giao điểm của $AN, MN$ với mặt phẳng $(SBD)$. Tính $k = \frac{IN}{IA} + \frac{JN}{JM}$?

Lời giải Gọi $O = AC \cap BD$, $BD \cap MC = K$. Trong $(SAC)$, gọi $SO \cap AN = I$. Trong $(SMC)$, gọi $SK \cap MN = J$. Ta thấy $I$ là trọng tâm tam giác $SAC$ nên $\frac{IN}{IA} = \frac{1}{2}$. $K$ là trọng tâm tam giác $ABC$, lấy $L$ là trung điểm $KC$. Ta có $MK = KL = LC$. $NL$ là đường trung bình của tam giác $SKC$ nên $NL \parallel SK$. Mà $K$ là trung điểm $ML$ nên $KJ$ là đường trung bình của tam giác $MNL$. Khi đó $\frac{JN}{JM} = 1 \Rightarrow \frac{IN}{IA} + \frac{JN}{JM} = \frac{3}{2}$.