Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang với $AD \parallel BC$ và $AD = 2BC$. Gọi $M$ là điểm trên cạnh $SD$ thỏa mãn $SM = \frac{1}{3}SD$. Mặt phẳng $(ABM)$ cắt cạnh bên $SC$ tại điểm $N$. Tính tỉ số $\frac{SN}{SC}$.

Lời giải Gọi $F$ là giao điểm của $AB$ và $CD$. Nối $F$ với $M$, $FM$ cắt $SC$ tại điểm $N$. Khi đó $N$ là giao điểm của $(ABM)$ và $SC$. Theo giả thiết, ta chứng minh được $C$ là trung điểm của $DF$. Trong mặt phẳng $(SCD)$, kẻ $CE \parallel NM$ ($E$ thuộc $SD$). Do $C$ là trung điểm của $DF$ nên suy ra $E$ là trung điểm của $MD$. Khi đó, ta có $SM = ME = ED$ và $M$ là trung điểm của $SE$. Do $MN \parallel CE$ và $M$ là trung điểm của $SE$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $SCE$. Từ đó suy ra $N$ là trung điểm của $SC$ và $\frac{SN}{SC} = \frac{1}{2}$.