Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{x+4}-2}{x} & \text{khi } x > 0 \\ mx^{2}+2m+\frac{1}{4} & \text{khi } x \leq 0 \end{cases}$, với $m$ là tham số. Tìm $m$ để $\lim_{x \to 0} f(x)$ tồn tại.

Lời giải Ta có: $$ \lim_{x \to 0^{-}} f(x) = \lim_{x \to 0^{-}} (mx^{2}+2m+\frac{1}{4}) = 2m+\frac{1}{4} $$ $$ \lim_{x \to 0^{+}} f(x) = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sqrt{x+4}-2}{x} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{x+4-4}{x(\sqrt{x+4}+2)} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\sqrt{x+4}+2} = \frac{1}{4} $$ Để $\lim_{x \to 0} f(x)$ tồn tại thì $\lim_{x \to 0^{+}} f(x) = \lim_{x \to 0^{-}} f(x)$: $$ 2m+\frac{1}{4} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow 2m = 0 \Leftrightarrow m = 0 $$