Tính tổng các giá trị tìm được của tham số $m$ để hàm số $f(x) = \begin{cases} m^{2}x^{2} & \text{khi } x \leq 1 \\ (2-m)x & \text{khi } x > 1 \end{cases}$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

Lời giải Xét tính liên tục tại $x=1$: $$ \lim_{x \to 1^{-}} f(x) = \lim_{x \to 1^{-}} (m^{2}x^{2}) = m^{2} $$ $$ \lim_{x \to 1^{+}} f(x) = \lim_{x \to 1^{+}} (2-m)x = 2-m $$ $f(1) = m^{2}$. Hàm số liên tục tại $x=1$ khi và chỉ khi $m^{2} = 2-m \Leftrightarrow m^{2}+m-2=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m=1 \\ m=-2 \end{array} \right.$. Tổng các giá trị của $m$ là $1 + (-2) = -1$.