Cho hàm số $ f\left ( { x } \right )=\left \{ \begin{array}{l} \frac { \sqrt[] { x ^ { 2 } +4 }-2 } { x ^ { 2 } } { \rm{ khi } }x>0 \\ 4mx+m+\frac { 1 } { 4 } { \rm{ khi } }x\leq 0 \end{array} \right. $, $ m $ là tham số. Tìm giá trị của $ m $ để hàm số có giới hạn tại $ x=0 $.

Ta có: $ \lim\limits_{ x\to 0 ^ { + } } f\left ( { x } \right )=\lim\limits_{ x\to 0 ^ { + } } \frac { \sqrt[] { x ^ { 2 } +4 }-2 } { x ^ { 2 } } =\lim\limits_{ x\to 0 ^ { + } } \frac { \left ( { x ^ { 2 } +4 } \right )-2 ^ { 2 } } { x ^ { 2 } \left ( { \sqrt[] { x ^ { 2 } +4 }+2 } \right ) } =\lim\limits_{ x\to 0 ^ { + } } \frac { x ^ { 2 } } { x ^ { 2 } \left ( { \sqrt[] { x ^ { 2 } +4 }+2 } \right ) } =\lim\limits_{ x\to 0 ^ { + } } \frac { 1 } { \sqrt[] { x ^ { 2 } +4 }+2 }=\frac { 1 } { 4 } $ $ \lim\limits_{ x\to 0 ^ { - } } f\left ( { x } \right )=\lim\limits_{ x\to 0 ^ { - } } \left ( { 4mx+m+\frac { 1 } { 4 } } \right )=m+\frac { 1 } { 4 } $ Hàm số đã cho có giới hạn tại $ x=0 $ khi và chỉ khi $ \lim\limits_{ x\to 0 ^ { + } } f\left ( { x } \right )=\lim\limits_{ x\to 0 ^ { - } } f\left ( { x } \right )⇔\frac { 1 } { 4 }=m+\frac { 1 } { 4 }⇒m=0 $