Tìm $m$ để hàm số $f(x) = \begin{cases} 3x+m & \text{khi } x < 0 \\ \frac{2x^{2}+100x+21}{6x+1} & \text{khi } x \geq 0 \end{cases}$ có giới hạn tại $x=0$.

Lời giải Ta có: $$ \lim_{x \to 0^{-}} f(x) = \lim_{x \to 0^{-}} (3x+m) = m $$ $$ \lim_{x \to 0^{+}} f(x) = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{2x^{2}+100x+21}{6x+1} = \frac{21}{1} = 21 $$ Để tồn tại giới hạn của $f(x)$ tại $x=0$ thì: $$ \lim_{x \to 0^{-}} f(x) = \lim_{x \to 0^{+}} f(x) \Leftrightarrow m = 21 $$