Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, cạnh $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$, $SA=AB=a$, $AD=3a$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$.

a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Đúng Lời giải Vì $SA \perp (ABCD)$ và $AB \subset (ABCD)$ nên $SA \perp AB$. Mà $AD \perp AB$ (đáy là hình chữ nhật), nên $AB \perp (SAD)$. Vậy góc giữa $AB$ và $(SAD)$ là $90^\circ$. Vì $AB \perp (SAD)$ tại $A$ nên hình chiếu của $SB$ trên $(SAD)$ là $SA$. Góc giữa $SB$ và $(SAD)$ là $\widehat{BSA}$. $$ \tan(\widehat{BSA}) = \frac{AB}{SA} = \frac{a}{a} = 1 \Rightarrow \widehat{BSA} = 45^\circ $$ Góc giữa hai mặt phẳng $(SCD)$ và $(ABCD)$ là góc giữa $SD$ và $AD$, tức là $\widehat{SDA}$. $$ \tan(\widehat{SDA}) = \frac{SA}{AD} = \frac{a}{3a} = \frac{1}{3} \Rightarrow \cot(\widehat{SDA}) = 3 $$ Vậy mệnh đề c) Sai. d) Đúng Trong $(SMD)$, kẻ $SH \perp MD$ tại $H$. Vì $SA \perp (ABCD)$ nên $AH$ là hình chiếu của $SH$ trên $(ABCD)$, suy ra $MD \perp AH$. Do đó góc nhị diện $[S, DM, A]$ chính là góc $\widehat{SHA}$. Xét $\triangle DCM$ vuông tại $C$: $MD = \sqrt{CD^{2} + CM^{2}} = \sqrt{a^{2} + \left(\frac{3a}{2}\right)^{2}} = \frac{a\sqrt{13}}{2}$. Ta có $S_{AMD} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot 3a = \frac{3a^{2}}{2} \Rightarrow AH = \frac{2S_{AMD}}{MD} = \frac{3a^{2}}{\frac{a\sqrt{13}}{2}} = \frac{6a}{\sqrt{13}}$. Xét $\triangle SAH$ vuông tại $A$: $SH = \sqrt{SA^{2} + AH^{2}} = \sqrt{a^{2} + \left(\frac{6a}{\sqrt{13}}\right)^{2}} = \frac{7a}{\sqrt{13}}$. $$ \cos(\widehat{SHA}) = \frac{AH}{SH} = \frac{6a}{\sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{7a} = \frac{6}{7} $$ Vậy mệnh đề d) Đúng.