Cho hình chóp $ S.ABC $ có $ SA⊥\left ( { ABC } \right ) $, đáy là tam giác $ ABC $ vuông tại $ B $, biết $ SA=AB=BC=a $.

a) Sai Thể tích khối chóp $ S.ABC $ là $ V=\frac { 1 } { 3 }.SA.S_{ ΔABC } =\frac { 1 } { 3 }.a.\frac { a ^ { 2 } } { 2 }=\frac { a ^ { 3 } } { 6 } $. b) Sai Gọi $ d $ là khoảng cách từ $ A $ đến mặt phẳng $ \left ( { SBC } \right ) $. $ ⇒V=\frac { 1 } { 3 }d.S_{ ΔSBC } $. Lại có: $ \left \{ \begin{array}{l} BC⊥AB \\ BC⊥SA \end{array} \right.⇒BC⊥\left ( { SAB } \right )⇒BC⊥SB $ $ ⇒ΔSBC $ vuông tại B. $ S_{ ΔSBC } =\frac { 1 } { 2 }.SB.BC=\frac { 1 } { 2 }a\sqrt[] { 2 }.a=\frac { a ^ { 2 } \sqrt[] { 2 } } { 2 } $. Vậy $ d=\frac { 3V } { S_{ ΔSBC } }=\frac { \frac { a ^ { 3 } } { 2 } } { \frac { a ^ { 2 } \sqrt[] { 2 } } { 2 } }=\frac { a\sqrt[] { 2 } } { 2 } $. c) Đúng Trong mặt phẳng $ \left ( { SBC } \right ) $, kẻ $ BH⊥SC $ tại $ H $, khi đó $ d\left ( { B,SC } \right )=BH $. Xét tam giác vuông $ SBC $ ta có: $ \frac { 1 } { BH ^ { 2 } }=\frac { 1 } { SB ^ { 2 } }+\frac { 1 } { BC ^ { 2 } }=\frac { 1 } { 2a ^ { 2 } }+\frac { 1 } { a ^ { 2 } }=\frac { 3 } { 2a ^ { 2 } } $ $ ⇒BH=\frac { a\sqrt[] { 6 } } { 3 } $. d) Đúng Dựng hình bình hành $ ABCD $, vì tam giác $ ABC $ vuông cân tại $ B $ nên $ ABCD $ là hình vuông. Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} CD⊥AD \\ CD⊥SA \end{array} \right.⇒CD⊥\left ( { SAD } \right ) $. Lại có $ CD⊂\left ( { SDC } \right ) $$ ⇒\left ( { SAD } \right )⊥\left ( { SDC } \right ) $. Trong mặt phẳng $ \left ( { SAD } \right ) $, dựng $ AE⊥SD $ tại $ E $. Suy ra $ AE⊥\left ( { SDC } \right ) $. (1) Ta có $ AB{ \rm{ // } }CD $$ ⇒AB\,{ \rm{ // } }\,\left ( { SDC } \right ) $. $ d\left ( { AB,SC } \right )=d\left ( { AB,\left ( { SCD } \right ) } \right )=d\left ( { A,\left ( { SCD } \right ) } \right ) $. (2) Từ (1) và (2) suy ra $ d\left ( { AB,SC } \right )=AE $. $ ΔSAD $ vuông cân tại $ A $ nên $ AE=\frac { a\sqrt[] { 2 } } { 2 } $.