Đúng/Sai · Câu 12
Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} 3x - 2 & \text{khi } x \ge 2 \\ 4 - (m^2 - 1)x & \text{khi } 0 < x < 2 \\ \frac{x - 3}{x - 1} & \text{khi } x \le 0 \end{cases}$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Chọn Đúng hoặc Sai cho từng ý.
Xem đáp án và lời giải
Kết quả từng mệnh đề
- a. Đúng
- b. Sai
- c. Sai
- d. Sai
Lời giải
a) Đúng. Với mọi $x \in (2; +\infty)$, hàm số được xác định bởi công thức nhánh đầu tiên: $f(x) = 3x - 2$. Đây là hàm số bậc nhất có hệ số $a = 3 > 0$ nên luôn đồng biến trên khoảng $(2; +\infty)$.
b) Sai. Khoảng $(0; 3)$ chứa một phần của nhánh thứ nhất $(2; 3)$ luôn đồng biến. Do đó hàm số không thể nghịch biến trên toàn bộ khoảng $(0; 3)$.
c) Sai. Trên khoảng $(0; 2)$, hàm số là $f(x) = -(m^2 - 1)x + 4$. Hàm số này nghịch biến trên $(0; 2)$ khi và chỉ khi hệ số góc âm:
$-(m^2 - 1) < 0 \Leftrightarrow m^2 - 1 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m > 1 \\ m < -1 \end{array} \right.$.
Có vô số giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn điều kiện này.
d) Sai. Khi $m \in [-3; -1]$ thì $m < 0$, do đó $f(m)$ được tính theo công thức nhánh thứ ba: $f(x) = \frac{x-3}{x-1} = 1 - \frac{2}{x-1}$. Hàm này đồng biến với mọi $x < 0$. Tuy nhiên, khi $m \in [-3; -1]$ thì $m + 2 \in [-1; 1]$, giá trị $f(m+2)$ có thể rơi sang nhánh khác (nhánh giữa khi $0 < m+2 < 1$), vì vậy khẳng định $f(m) < f(m+2)$ không luôn đúng với mọi trường hợp của $m$.