Cho hàm số$ f\left ( { x } \right )=\frac { x } { x-1 } $.

a) Đúng. Hàm số có tập xác định là $ D=\mathbb{R}\left\{1\right\} $. b) Đúng. TXĐ: $ D=\mathbb{R}\left\{1\right\} $. Với mọi $ x_{ 1 } ,x_{ 2 } ∈D $, $ x_{ 1 } ≠x_{ 2 } $, ta có: $ f\left ( { x_{ 1 } } \right )-f\left ( { x_{ 2 } } \right ) =\frac { x_{ 1 } } { x_{ 1 } -1 }-\frac { x_{ 2 } } { x_{ 2 } -1 } $ $ =\frac { x_{ 2 } -x_{ 1 } } { (x_{ 1 } -1)(x_{ 2 } -1) } $. Với mọi $ x_{ 1 } ,x_{ 2 } ∈\left ( { -∞;1 } \right ) $ và $ x_{ 1 } < x_{ 2 } $ ta có $ x_{ 2 } -x_{ 1 } >0 $ và $ x_{ 1 } < 1 $, $ x_{ 2 } < 1 $. Suy ra $ f\left ( { x_{ 1 } } \right )-f\left ( { x_{ 2 } } \right )>0 $ hay $ f\left ( { x_{ 1 } } \right )>f\left ( { x_{ 2 } } \right ) $. Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $ \left ( { -∞;1 } \right ) $. Với mọi $ x_{ 1 } ,x_{ 2 } ∈\left ( { 1;+∞ } \right ) $ và $ x_{ 1 } < x_{ 2 } $ suy ra $ f\left ( { x_{ 1 } } \right )-f\left ( { x_{ 2 } } \right )>0 $ hay $ f\left ( { x_{ 1 } } \right )>f\left ( { x_{ 2 } } \right ) $. Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $ \left ( { 1;+∞ } \right ) $. c) Sai. Theo câu b ta có hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $ \left ( { -∞;1 } \right ) $. d) Sai. Hàm số xác định khi $ x-2m+1≠0⇔x≠2m-1 $. Hàm số xác định trên $ \left ( { 0;1 } \right ]⇔2m-1∉\left ( { 0;1 } \right ]⇔\left[\begin{array}{l} 2m-1≤0 \\ 2m-1>1 \end{array}\right.⇔\left[\begin{array}{l} m≤\frac { 1 } { 2 } \\ m>1 \end{array}\right. $.