Cho hàm số$ f(x)=(m ^ { 2 } -1)x ^ { 2 } +2(m+1)x+3 $.

a) Đúng. Tập xác định của hàm số là $ D=\mathbb{R} $ b) Sai. Khi $ m=-1 $ ta có $ f(x)=3 $ hàm số không đổi c) Sai. Khi $ m=2 $ ta có $ f(x)=3x ^ { 2 } +6x+3 $ hàm số đồng biến trên khoảng $ (-1;+∞) $ d) Đúng. Xét $ a=m ^ { 2 } -1=0⇔m=±1 $. Nếu $ m=-1 $ thì $ f(x)=3 $ (không thoả mãn) Nếu $ m=1 $ thì $ f(x)=4x+3 $ hàm số đồng biến trên $ \mathbb{R} $ nên hàm số đồng biến trên khoảng $ \left ( { -2;+∞ } \right ) $ (thoả mãn) Xét $ a=m ^ { 2 } -1≠0⇔m≠±1 $. Nếu $ a=m ^ { 2 } -1 < 0⇔m∈(-1;1) $ thì hàm số đồng biến trên $ \left ( { -∞;\frac { -1 } { m-1 } } \right ) $ và nghịch biến trên khoảng $ \left ( { \frac { -1 } { m-1 };+∞ } \right ) $ (không thoả mãn) Nếu $ (m ^ { 2 } -1)>0⇔m∈(-∞;-1)∪(1;+∞) $ thì hàm số đồng biến trên $ \left ( { \frac { -1 } { m-1 };+∞ } \right ) $ và nghịch biến trên khoảng $ \left ( { -∞;\frac { -1 } { m-1 } } \right ) $ suy ra để hàm số đồng biến trên khoảng $ \left ( { -2;+∞ } \right ) $ ta cần có điều kiện là $ \left ( { -2;+∞ } \right )⊂\left ( { \frac { -1 } { m-1 };+∞ } \right )⇔\frac { -1 } { m-1 }≤-2⇔\frac { 1 } { m-1 }≥2⇔1 < m≤\frac { 3 } { 2 } $ (Không có giá trị nguyên nào) Kết luận: Có duy nhất một giá trị nguyên $ m=1 $ để hàm số đồng biến trên khoảng $ \left ( { -2;+∞ } \right ) $.