Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ và $SC = \frac{a\sqrt{17}}{2}$. Hình chiếu vuông góc $H$ của $S$ trên mặt phẳng $\Big(ABCD\Big)$ là trung điểm của đoạn $AB$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $SB$ và $BC$. Gọi $x$ là khoảng cách giữa hai mặt phẳng $\Big(HMN\Big)$ và $\Big(SAC\Big)$. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Đúng Lời giải a) Xét hai mặt phẳng $\Big(HMN\Big)$ và $\Big(SAC\Big)$ có $\left\{ \begin{array}{l} MN \parallel SC \\ HN \parallel AC \end{array} \right.$ nên mặt phẳng $\Big(HMN\Big)$ song song với mặt phẳng $\Big(SAC\Big)$, do đó $d\Big(H, \Big(SAC\Big)\Big) = d\Big(\Big(HMN\Big), \Big(SAC\Big)\Big) = x$. b) Xét hai mặt phẳng $\Big(HMN\Big)$ và $\Big(SAC\Big)$ có $\left\{ \begin{array}{l} MN \parallel SC \\ HN \parallel AC \end{array} \right.$ nên mặt phẳng $\Big(HMN\Big)$ song song với mặt phẳng $\Big(SAC\Big)$. Mặt khác mặt phẳng $\Big(HMN\Big)$ chứa $HN$, mặt phẳng $\Big(SAC\Big)$ chứa $SC$ do đó $d\Big(HN, SC\Big) = d\Big(\Big(HMN\Big), \Big(SAC\Big)\Big) = x$. c) Xét hai mặt phẳng $\Big(HMN\Big)$ và $\Big(SAC\Big)$ có $\left\{ \begin{array}{l} MN \parallel SC \\ HN \parallel AC \end{array} \right.$ nên mặt phẳng $\Big(HMN\Big)$ song song với mặt phẳng $\Big(SAC\Big)$, do đó $d\Big(H, \Big(SAC\Big)\Big) = d\Big(\Big(HMN\Big), \Big(SAC\Big)\Big) = x$ (1). Lại có $AB$ cắt $\Big(SAC\Big)$ tại $A$, $H$ là trung điểm của $AB$ nên: $$ \frac{d\Big(B, \Big(SAC\Big)\Big)}{d\Big(H, \Big(SAC\Big)\Big)} = \frac{BA}{HA} = 2 \Rightarrow d\Big(B, \Big(SAC\Big)\Big) = 2 \cdot d\Big(H, \Big(SAC\Big)\Big) $$ (2). Từ (1) và (2) ta có: $d\Big(B, \Big(SAC\Big)\Big) = 2 \cdot d\Big(H, \Big(SAC\Big)\Big) = 2x$. d) Xét hai mặt phẳng $\Big(HMN\Big)$ và $\Big(SAC\Big)$ có $\left\{ \begin{array}{l} MN \parallel SC \\ HN \parallel AC \end{array} \right.$ nên mặt phẳng $\Big(HMN\Big)$ song song với mặt phẳng $\Big(SAC\Big)$, do đó $d\Big(H, \Big(SAC\Big)\Big) = d\Big(\Big(HMN\Big), \Big(SAC\Big)\Big) = x$. Xét $\triangle BHC$ vuông tại $B$ nên $HC = \sqrt{BH^{2} + BC^{2}} = \sqrt{\frac{a^{2}}{4} + a^{2}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$. Xét $\triangle SHC$ vuông tại $H$ nên $SH = \sqrt{SC^{2} - HC^{2}} = \sqrt{\frac{17a^{2}}{4} - \frac{5a^{2}}{4}} = a\sqrt{3}$. Gọi $I$ là hình chiếu của $H$ trên $AC$, gọi $K$ là hình chiếu của $H$ trên $SI$, ta có $HK = d\Big(H, \Big(SAC\Big)\Big) = d\Big(\Big(HMN\Big), \Big(SAC\Big)\Big) = x$. Lại có $HI = \frac{1}{2}BO = \frac{a\sqrt{2}}{4}$. Xét $\triangle HSI$ vuông tại $H$ có $HK$ là đường cao nên: $$ \frac{1}{HK^{2}} = \frac{1}{SH^{2}} + \frac{1}{HI^{2}} = \frac{1}{3a^{2}} + \frac{8}{a^{2}} = \frac{25}{3a^{2}} \Rightarrow HK = \frac{a\sqrt{3}}{5} $$