Phần thân của một ngôi đền kim tự tháp, không bao gồm ngôi đền nằm phía trên, có dạng một khối chóp cụt tứ giác đều (không tính cầu thang và coi các mặt bên là phẳng) với độ dài cạnh đáy dưới là $50\sqrt{2}$ m, chiều cao là $20$ m, góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy là $45°$. Hỏi thể tích phần thân ngôi đền có dạng khối chóp cụt tứ giác đều đó bằng bao nhiêu nghìn mét khối (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Lời giải Mô hình hoá phần thân của đền bằng chóp cụt tứ giác đều $ABCD.A'B'C'D'$ với $O, O'$ là tâm của hai đáy. Ta có $AB = 50\sqrt{2}$ m, $OO' = 20$ m. Góc giữa cạnh bên $CC'$ và mặt đáy là $\widehat{C'CO} = 45°$ (hoặc xét góc với hình chiếu là $\widehat{C'CH} = 45°$). $ABCD$ là hình vuông nên: $$ AC = AB\sqrt{2} = 50\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 100 \text{ m} \Rightarrow CO = 50 \text{ m} $$ Dựng $C'H \perp OC$ ($H \in OC$). Khi đó $C'H = OO' = 20$ m. Trong tam giác $C'CH$ vuông tại $H$, vì $\widehat{C'CH} = 45°$ nên $CH = C'H = 20$ m. Suy ra: $$ O'C' = OH = CO - CH = 50 - 20 = 30 \text{ m} $$ Vì $A'C' = 2O'C' = 60$ m nên $A'B' = \frac{A'C'}{\sqrt{2}} = 30\sqrt{2}$ m. Diện tích đáy lớn $S = AB^2 = (50\sqrt{2})^2 = 5000 \text{ (m}^2)$. Diện tích đáy bé $S' = A'B'^2 = (30\sqrt{2})^2 = 1800 \text{ (m}^2)$. Thể tích khối chóp cụt: $$ V = \frac{1}{3}h(S + \sqrt{SS'} + S') = \frac{1}{3} \cdot 20 \cdot (5000 + \sqrt{5000 \cdot 1800} + 1800) \approx 65333,3 \text{ (m}^3) $$ Vậy thể tích là $65,3$ nghìn mét khối.