Cho $ A=\frac { 1 } { 100 } $; $ B=\left ( { \frac { 99 } { 1000 } } \right ) ^ { 2 } $; $ C=\left ( { \frac { 1 } { 11 ^ { 2 } }+\frac { 1 } { 12 ^ { 2 } }...+\frac { 1 } { 99 ^ { 2 } }+\frac { 1 } { 1000 ^ { 2 } } } \right ) ^ { 2 } $. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

a) Sai Ta có $ A=\frac { 1 } { 100 } < \frac { 50 } { 100 }=\frac { 1 } { 2 } $. Vậy $ A < \frac { 1 } { 2 } $. b) Đúng + Do $ 0 < \frac { 99 } { 1000 } < \frac { 100 } { 1000 }=\frac { 1 } { 10 } ⇒ \left ( { \frac { 99 } { 1000 } } \right ) ^ { 2 } < \left ( { \frac { 1 } { 10 } } \right ) ^ { 2 } =\frac { 1 } { 100 } ⇒ A>B $. c) Đúng + Do $ 0 < \frac { 99 } { 1000 } < \frac { 100 } { 1000 }=\frac { 1 } { 10 } ⇒ \left ( { \frac { 99 } { 1000 } } \right ) ^ { 2 } < \left ( { \frac { 1 } { 10 } } \right ) ^ { 2 } =\frac { 1 } { 100 } ⇒ B < A (1) $ + Với $ n∈\mathbb{N} ^ { * } ,\,n>1 $, ta có: $ \frac { 1 } { n-1 }-\frac { 1 } { n }=\frac { n-(n-1) } { (n-1)n }=\frac { 1 } { (n-1)n }>\frac { 1 } { n ^ { 2 } } $ $ ⇒ \frac { 1 } { n ^ { 2 } } < \frac { 1 } { n-1 }-\frac { 1 } { n } $ với $ ∀n∈\mathbb{N} ^ { * } ,\,n>1 $. Suy ra $ \frac { 1 } { 11 ^ { 2 } } < \frac { 1 } { 10 }-\frac { 1 } { 11 } $; …; $ \frac { 1 } { 1000 ^ { 2 } } < \frac { 1 } { 999 }-\frac { 1 } { 1000 } $. $ ⇒ \frac { 1 } { 11 ^ { 2 } }+\frac { 1 } { 12 ^ { 2 } }...+\frac { 1 } { 1000 ^ { 2 } } < \frac { 1 } { 10 }-\frac { 1 } { 1000 }=\frac { 99 } { 1000 } $ $ ⇒ \left ( { \frac { 1 } { 11 ^ { 2 } }+\frac { 1 } { 12 ^ { 2 } }...+\frac { 1 } { 1000 ^ { 2 } } } \right ) ^ { 2 } < \left ( { \frac { 99 } { 1000 } } \right ) ^ { 2 } $ hay $ C < B (2) $ Từ $ (1) $ và $ (2) $ suy ra $ C < B < A $. d) Sai Ta có $ \left ( { \frac { 1 } { 11 ^ { 2 } }+\frac { 1 } { 12 ^ { 2 } }...+\frac { 1 } { 1000 ^ { 2 } } } \right ) ^ { 2 } < \left ( { \frac { 99 } { 1000 } } \right ) ^ { 2 } < 1⇒0 < C < 1 $ Do $ \left \{ \begin{array}{l} 0 < C < 1 \\ A>B \end{array} \right.⇒C ^ { A } < C ^ { B } $.