Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $2$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $CD$. Diện tích thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi mặt phẳng $(A'MN)$ bằng? (Làm tròn đến hàng phần mười).

Lời giải $MN \cap AD = I$, $MN \cap AB = J$, $A'I \cap DD' = P$, $A'J \cap BB' = Q$. Suy ra thiết diện là ngũ giác $A'PNMQ$. $$ \triangle DNI = \triangle CNM = \triangle BJM \Rightarrow JB = DN = ID = BM = 1 $$ Lại có: $PD \parallel AA' \Rightarrow \frac{PD}{AA'} = \frac{ID}{IA} = \frac{1}{3} \Rightarrow PD = \frac{1}{3}AA' = \frac{2}{3}$. Chứng minh tương tự ta có: $BQ = \frac{1}{3}AA' = \frac{2}{3}$. Ta có: $$ QJ = QM = \sqrt{BM^{2} + BQ^{2}} = \sqrt{1^{2} + \Big(\frac{2}{3}\Big)^{2}} = \frac{\sqrt{13}}{3} $$ $$ JM = \sqrt{BJ^{2} + BM^{2}} = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2} $$ $$ \Rightarrow S_{\triangle QJM} = \frac{\sqrt{17}}{6} $$ (Áp dụng công thức Heron $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ với $p = \frac{a+b+c}{2}$). Tương tự: $PN = PI = \frac{\sqrt{13}}{3}$, $NI = \sqrt{2} \Rightarrow S_{\triangle PNI} = \frac{\sqrt{17}}{6}$. Mặt khác: $$ A'I = A'J = \sqrt{AA'^{2} + AJ^{2}} = \sqrt{2^{2} + 3^{2}} = \sqrt{13} $$ $$ JI = \sqrt{AI^{2} + AJ^{2}} = \sqrt{3^{2} + 3^{2}} = 3\sqrt{2} $$