Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình vuông có cạnh bằng 4. Biết cạnh $ SA=4 $ đồng thời các tam giác $ SAB,SAD $ đều vuông tại $ A $. Các điểm $ M,N,E $ lần lượt là trung điểm $ BC,CD $ và $ SA $. Tính diện tích đa giác là phần giao nhau (làm tròn đến hàng phần chục) của hình chóp $ S.ABCD $ và mặt phẳng $ \left ( { MNE } \right ). $

Kéo dài đường thẳng $ MN $, cắt các đường thẳng $ AB,AD $ lần lượt tại $ G,F $. Nối $ EF $ cắt $ SD $ tại $ H $, nối $ EG $ cắt $ SB $ tại $ I $. Dễ thấy phần chung giao nhau của hình chóp $ S.ABCD $ và $ \left ( { MNE } \right ) $ là ngũ giác $ MNHEI $. Vì tam giác $ NMC $ bằng tam giác $ NFD $ nên $ DF=MC=2 $. Tương tự $ BG=2 $ Từ đó $ AF=AG=6 $; $ GF=\sqrt[] { AG ^ { 2 } +AF ^ { 2 } }=6\sqrt[] { 2 } $ và $ EG=\sqrt[] { E{ \rm{ A } } ^ { 2 } + AG ^ { 2 } }=2\sqrt[] { 10 }=EF $ Sử dụng công thức Heron ta được diện tích tam giác $ EGF $ bằng $ S_{ ΔEGF } =6\sqrt[] { 11 } $ Mặt khác, áp dụng định lý Menelaus cho tam giác $ SAB $ thì $ \frac { IS } { IB }.\frac { GB } { GA }.\frac { E{ \rm{ A } } } { ES }=1⇒\frac { IS } { IB }=3 $ và áp dụng định lý Menelaus cho tam giác $ EGA $ thì $ \frac { IG } { IE }.\frac { SE } { SA }.\frac { BA } { BG }=1⇒\frac { IG } { IE }=1 $ Ta có tỉ lệ diện tích $ \frac { S_{ ΔGIM } } { S_{ ΔGEF } }=\frac { GI } { GE }.\frac { GM } { GF }=\frac { 1 } { 6 }⇒S_{ ΔGIM } =\frac { 1 } { 6 }S_{ ΔGEF } $. Chứng minh tương tự $ S_{ ΔFHN } =\frac { 1 } { 6 }S_{ ΔGEF } $ Từ đó diện tích thiết diện $ S_{ MNHEI } =S_{ ΔGEF } -S_{ ΔGMI } -S_{ ΔFHN } =\frac { 2 } { 3 }S_{ ΔGEF } =4\sqrt[] { 11 }≈13,3 $ Lưu ý: Cách hai tính tỉ số mà không dùng định lý menelaus Kéo dài $ GE $ cắt đường thẳng qua $ S $ và song song $ AB $ tại $ K $. Dễ thấy hai tam giác $ ESK $ và $ EAG $ bằng nhau nên $ SK=AG=6,EK=EG $ Tam giác $ ISK $ đồng dạng tam giác $ IBG $ theo tỉ số $ SK:BG=3 $ nên $ GI=\frac { 1 } { 3 }IK⇒GI=\frac { 1 } { 4 }GK=\frac { 1 } { 2 }GE $