Cho tứ diện $ ABCD $. Các điểm $ P,\ Q $ lần lượt là trung điểm cạnh $ AB,\ CD $ và điểm $ R $ nằm trên cạnh $ BC $ sao cho $ BR=2RC $. Gọi $ S $ là giao điểm của mặt phẳng $ \left ( { PQR } \right ) $ và cạnh $ AD $. Tính tỉ số $ \frac { SA } { SD } $?

Gọi $ I $ là trung điểm $ BR $, ta có $ BI=RI=RC $ Trong mặt phẳng $ \left ( { BCD } \right ) $ gọi $ E=RQ∩BD $ Trong mặt phẳng $ \left ( { ABD } \right ) $ gọi $ S=EP∩AD $ Xét tam giác $ ICD $ có $ RQ $ là đường trung bình, nên $ ID{ \rm{ // } }RQ $, suy ra $ ID{ \rm{ // } }RE $. Xét tam giác $ BRE $ có $ ID{ \rm{ // } }RE $ mà $ I $ là trung điểm $ BR, $ suy ra $ D $ là trung điểm $ BE $ Xét tam giác $ ABE $ có $ EP,\ AD $ là các đường tuyến, nên $ S $ là trọng tâm tam giác $ ABE $ Vậy $ \frac { SA } { SD }=2 $.