Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình bình hành. Gọi $ G $ là trọng tâm tam giác $ ABC $ và $ M $ là trung điểm $ SC $. Gọi $ K $ là giao điểm của $ SD $ với mặt phẳng $ \left ( { AGM } \right ) $. Tính tỷ số $ \frac { KS } { KD } $.

Gọi $ O=AC∩BD $, $ I=AM∩SO $. Trong mặt phẳng $ \left ( { SBD } \right ) $, kéo dài $ GI $ cắt $ SD $ tại $ K ⇒K=SD∩\left ( { AMG } \right ) $. Trong tam giác $ SAC $, có $ SO, $ $ AM $ là hai đường trung tuyến. Suy ra $ I $ là trọng tâm tam giác $ SAC ⇒\frac { OI } { { \rm{ O } }S }=\frac { 1 } { 3 } $, ta lại có $ \frac { OG } { OB }=\frac { 1 } { 3 } $. $ ⇒\frac { OI } { OS }=\frac { OG } { OB } ⇒GI{ \rm{ // } }SB ⇒GK{ \rm{ // } }SB ⇒\frac { KD } { KS }=\frac { GD } { GB } $. Ta có $ DO=BO=3GO ⇒GD=4GO $, $ GB=2GO $. Vậy $ \frac { KD } { KS }=\frac { GD } { GB }=\frac { 4GO } { 2GO }=2 ⇒\frac { KS } { KD }=\frac { 1 } { 2 } $.