Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình bình hành. Gọi $ M,\,\,N $ lần lượt là trung điểm của các cạnh $ SA $ và $ SC $. Điểm $ P $ trên cạnh $ SB $ sao cho $ \frac { SP } { SB }=\frac { 2 } { 3 } $. Gọi $ Q $ là giao điểm của cạnh $ SD $ và mặt phẳng $ \left ( { MNP } \right ) $. Tính tỷ số $ \frac { SQ } { SD } $.

Gọi $ I $ là giao điểm của $ MN $ và $ SO $. Nối $ P $ với $ I $ kéo dài sẽ cắt $ SD $, $ BD $ theo thứ tự tại $ Q $ và $ E $. Từ $ B $ kẻ đường thẳng song song với $ SO $, $ SD $ cắt $ EQ $ lần lượt tại $ H $, $ K $. Vì $ BH\,{ \rm{ // } }\,SI $ nên $ \frac { BH } { SI }=\frac { BP } { SP }=\frac { 1 } { 2 };\,SI=IO⇒\frac { BH } { OI }=\frac { 1 } { 2 }⇒\frac { BE } { OE }=\frac { BH } { OI }=\frac { 1 } { 2 }⇒\frac { BE } { ED }=\frac { 1 } { 3 } $. Vì $ BK\,{ \rm{ // } }\,SQ $ nên $ \left \{ \begin{array}{l} \frac { BK } { SQ }=\frac { BP } { SP }=\frac { 1 } { 2 }⇒SQ=2BK; \\ \frac { BK } { DQ }=\frac { BE } { ED }=\frac { 1 } { 3 }⇒DQ=3BK \end{array} \right.\,⇒\frac { SQ } { DQ }=\frac { 2 } { 3 }⇒\frac { SQ } { SD }=\frac { 2 } { 5 } $. Vậy $ \frac { SQ } { SD }=\frac { 2 } { 5 } $.