Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình bình hành. Gọi $ M $ là trung điểm của $ SC. $ Gọi $ I $ là giao điểm của $ AM $ với mặt phẳng $ \left ( { SBD } \right ). $ Khi đó $ \overset\rightarrow { IA }=k\,\overset\rightarrow { IM } $. Tìm giá trị của $ k ^ { 3 } $.

Gọi $ O $ là tâm hình bình hành $ ABCD $ suy ra $ O $ là trung điểm của $ AC\,. $ Nối $ AM $ cắt $ SO $ tại $ I $ mà $ SO⊂\left ( { SBD } \right ) $ suy ra $ I=AM∩\left ( { SBD } \right ). $ Tam giác $ SAC $ có $ M,\,\,O $ lần lượt là trung điểm của $ SC,\,\,AC. $ Mà $ I=AM∩SO $ suy ra $ I $ là trọng tâm tam giác $ SAC\,\,⇒\,\,AI=\frac { 2 } { 3 }AM\,\,⇔\,\,IA=2IM. $ Điểm $ I $ nằm giữa $ A $ và $ M $ suy ra $ \overset\rightarrow { IA }=2\overset\rightarrow { MI }=-\,2\overset\rightarrow { IM } $. Do đó $ k=-2 ⇒k ^ { 3 } =-8 $.