Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình bình hành tâm $ O $. $ M $ là trung điểm của $ SC $, $ N $ là trung điểm của $ OB $. Gọi $ E $ giao điểm của đường thẳng $ SD $ và mặt phẳng $ \left ( { AMN } \right ) $. Tỉ số $ \frac { SE } { SD } $ bằng?

Trong mặt phẳng $ \left ( { SAC } \right ) $ gọi $ I=AM∩SO $. Ta có$ \left \{ \begin{array}{l} I∈AM⊂\left ( { AMN } \right ) \\ I∈SO⊂\left ( { SBD } \right ) \end{array} \right. ⇒I∈\left ( { SBD } \right )∩\left ( { AMN } \right ) $. Mặt khác $ N∈\left ( { SBD } \right )∩\left ( { AMN } \right ) $. Suy ra$ \left ( { SBD } \right )∩\left ( { AMN } \right )=NI $. Gọi $ E=NI∩SD ⇒E=SD∩\left ( { AMN } \right ) $. $ I $ là trọng tâm tam giác $ SAC $ nên $ \frac { IS } { IO }=\frac { 2 } { 1 } $ Mặt khác $ N $ là trung điểm của $ OB $ và $ O $ là trung điểm của $ BD $ nên suy ra $ \frac { NO } { ND }=\frac { 1 } { 3 } $ Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác $ SDO $, ta có: $ \frac { NO } { ND }.\frac { ED } { ES }.\frac { IS } { IO }=1⇒\frac { ED } { ES }=\frac { 3 } { 2 } $ Suy ra $ \frac { SE } { SD }=\frac { 2 } { 5 }=0,4 $.