Cho dãy số $(u_n)$, biết $u_n = \cos n + \sin n$. Dãy số $(u_n)$ bị chặn trên bởi số nào dưới đây?

Question

Beedemy · Accepted Answer

C. $\sqrt{2}$. Lời giải: Lời giải Sử dụng công thức biến đổi biểu thức lượng giác phụ trợ, ta có: $$u_n = \sin n + \cos n = \sqrt{2} \sin\left(n + \frac{\pi}{4}\right)$$ Với mọi $n \in \mathbb{N}^*$, ta luôn có giá trị của hàm số sin nằm trong đoạn $[-1; 1]$: $$-1 \le \sin\left(n + \frac{\pi}{4}\right) \le 1$$ Nhân các vế với $\sqrt{2} > 0$, ta được: $$-\sqrt{2} \le \sqrt{2} \sin\left(n + \frac{\pi}{4}\right) \le \sqrt{2} \Rightarrow -\sqrt{2} \le u_n \le \sqrt{2}$$ Như vậy, dãy số $(u_n)$ bị chặn trên bởi $\sqrt{2}$ (và bị chặn dưới bởi $-\sqrt{2}$). Chọn C.

Cho dãy số $(u_n)$, biết $u_n = \cos n + \sin n$. Dãy số $(u_n)$ bị chặn trên bởi số nào dưới đây?

Cùng dạng: Dãy số bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn