Cho dãy số $\left( u_n \right)$, biết $u_n = \sqrt{3}\cos n - \sin n$. Dãy số $\left( u_n \right)$ bị chặn dưới và chặn trên lần lượt bởi các số $m$ và $M$ nào dưới đây?

Lời giải Áp dụng công thức biến đổi biểu thức dạng $a\sin x + b\cos x$, ta có: $$u_n = \sqrt{3}\cos n - \sin n = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2}\cos n - \frac{1}{2}\sin n \right) = 2\cos \left( n + \frac{\pi}{6} \right)$$ Với mọi $n \in \mathbb{N}^*$, ta luôn có giá trị của hàm số cosine nằm trong đoạn $[-1; 1]$: $$-1 \le \cos \left( n + \frac{\pi}{6} \right) \le 1$$ Nhân tất cả các vế với $2$, ta được: $$-2 \le 2\cos \left( n + \frac{\pi}{6} \right) \le 2 \implies -2 \le u_n \le 2$$ Vậy dãy số $\left( u_n \right)$ bị chặn dưới bởi $m = -2$ và bị chặn trên bởi $M = 2$. **Cách trắc nghiệm (Sử dụng máy tính cầm tay):** * Nhập hàm số $F(X) = \sqrt{3}\cos X - \sin X$ vào chức năng **TABLE** với chế độ đơn vị góc là Radian. * Thiết lập $\text{Start} = 1$, $\text{End} = 10$, $\text{Step} = 1$. * Quan sát bảng giá trị, ta thấy số hạng $u_1 \approx -0,09$ (lớn hơn $\sqrt{3}-1 \approx 0,73$ nên loại C và D). Đồng thời có số hạng $u_4 \approx -1,21$ (nhỏ hơn $-\frac{1}{2}$ nên loại B). Chọn **A**.