Cho dãy số $\left( u_n \right)$, biết $u_n = \sin n - \cos n$. Dãy số $\left( u_n \right)$ bị chặn dưới bởi số nào dưới đây?

## Lời giải Sử dụng công thức biến đổi biểu thức lượng giác hiệu của sine và cosine, ta có: $$u_n = \sin n - \cos n = \sqrt{2} \sin \left( n - \frac{\pi}{4} \right)$$ Với mọi $n \in \mathbb{N}^*$, giá trị của hàm số sine luôn nằm trong đoạn $[-1; 1]$: $$-1 \le \sin \left( n - \frac{\pi}{4} \right) \le 1$$ Nhân các vế với $\sqrt{2} > 0$, ta thu được: $$-\sqrt{2} \le \sqrt{2} \sin \left( n - \frac{\pi}{4} \right) \le \sqrt{2} \implies -\sqrt{2} \le u_n \le \sqrt{2}$$ Như vậy, dãy số $\left( u_n \right)$ bị chặn dưới bởi $-\sqrt{2}$ và bị chặn trên bởi $\sqrt{2}$. Do đó, số chặn dưới của dãy số trong các phương án là $-\sqrt{2}$. **Cách trắc nghiệm (Sử dụng máy tính cầm tay):** * Sử dụng chức năng **TABLE** trên máy tính để kiểm tra giá trị của $u_n$. * Ta nhận thấy có những số hạng của dãy số (ví dụ với $n = 5$, $u_5 = \sin 5 - \cos 5 \approx -1,24$) có giá trị nhỏ hơn $-1$ và $0$. Do đó, loại ngay đáp án A và B (vì chỉ cần tồn tại một số hạng nhỏ hơn $\alpha$ thì $\alpha$ không thể là số chặn dưới của dãy số). * Dãy số có số chặn dưới nên loại đáp án D. Chọn **C**.