Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi với $\widehat{ABC}=60^{\circ}$ và $AB=4$. Biết rằng hình chiếu vuông góc của $S$ trên mặt phẳng $(ABCD)$ là trọng tâm $H$ của tam giác $ABC$ và $SH=2\sqrt{3}$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AC$ và $SD$ bằng bao nhiêu?

Lời giải Vì $\widehat{ABC}=60^{\circ}$ và $AB=BC=4$ nên tam giác $ABC$ đều, suy ra $AC=4$; đường chéo $BD=4\sqrt{3}$ (do $\widehat{BAD}=120^{\circ}$). Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với gốc $O$ là tâm hình thoi, $A(-2;0;0)$, $C(2;0;0)$, $B(0;-2\sqrt{3};0)$, $D(0;2\sqrt{3};0)$. Trọng tâm $H$ của tam giác $ABC$ có tọa độ $H\left(0;-\frac{2\sqrt{3}}{3};0\right)$, do đó $S\left(0;-\frac{2\sqrt{3}}{3};2\sqrt{3}\right)$. Ta có $\overset\rightarrow{AC}=(4;0;0)$ và $\overset\rightarrow{SD}=\left(0;\frac{8\sqrt{3}}{3};-2\sqrt{3}\right)$. $\left[\overset\rightarrow{AC};\overset\rightarrow{SD}\right]=\left(0;8\sqrt{3};\frac{32\sqrt{3}}{3}\right)$; nhân với $3$ để gọn: véc-tơ tỉ lệ $\left(0;24\sqrt{3};32\sqrt{3}\right)$, độ dài $= 40\sqrt{3}$, tương ứng $\left|\left[\overset\rightarrow{AC};\overset\rightarrow{SD}\right]\right|=\frac{40\sqrt{3}}{3}$. Lấy $\overset\rightarrow{AD}=(2;2\sqrt{3};0)$. $d(AC,SD)=\frac{\left|\overset\rightarrow{AD}.\left[\overset\rightarrow{AC};\overset\rightarrow{SD}\right]\right|}{\left|\left[\overset\rightarrow{AC};\overset\rightarrow{SD}\right]\right|}=\frac{2\sqrt{3}\cdot 8\sqrt{3}}{\frac{40\sqrt{3}}{3}}=\frac{48}{\frac{40\sqrt{3}}{3}}=\frac{144}{40\sqrt{3}}=\frac{18}{5\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{5}\approx 2,08$.