Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông với $AB=6$. Biết rằng hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ là trọng tâm $H$ của tam giác $ABC$ và $SH=3\sqrt{2}$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AC$ và $SD$ bằng bao nhiêu? (Không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)

Lời giải Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho $A(0;0;0)$, $B(6;0;0)$, $C(6;6;0)$, $D(0;6;0)$. Trọng tâm $H$ của tam giác $ABC$ có tọa độ $H\left(4;2;0\right)$ (trung bình cộng tọa độ $A,B,C$), do đó $S\left(4;2;3\sqrt{2}\right)$. Ta có $\overset\rightarrow{AC}=(6;6;0)$ và $\overset\rightarrow{SD}=(-4;4;-3\sqrt{2})$. $\left[\overset\rightarrow{AC};\overset\rightarrow{SD}\right]=\left(-18\sqrt{2};18\sqrt{2};48\right)\Rightarrow \left|\left[\overset\rightarrow{AC};\overset\rightarrow{SD}\right]\right|=60$. Lấy $\overset\rightarrow{AD}=(0;6;0)$. $d(AC,SD)=\frac{\left|\overset\rightarrow{AD}.\left[\overset\rightarrow{AC};\overset\rightarrow{SD}\right]\right|}{\left|\left[\overset\rightarrow{AC};\overset\rightarrow{SD}\right]\right|}=\frac{108\sqrt{2}}{60}=\frac{9\sqrt{2}}{5}\approx 2,55$.