Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình chữ nhật cạnh $ AB=1,AD=2 $; hình chiếu của $ S $ lên mặt phẳng $ \left ( { ABCD } \right ) $ trùng với trung điểm $ H $ của cạnh $ AD $, góc giữa $ SB $ và mặt phẳng $ \left ( { ABCD } \right ) $ là $ 45° $. Tính khoảng cách giữa $ SD $ và $ BH $(kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Gọi $ K $ là trung điểm của $ BC $. Ta có $ BH{ \rm{ // } }DK⇒BH{ \rm{ // } }\left ( { SDK } \right ) $ $ ⇒d\left ( { BH,SD } \right )=d\left ( { BH,\left ( { SDK } \right ) } \right )=d\left ( { H,\left ( { SDK } \right ) } \right ) $. Dựng $ HE⊥DK $ tại $ E $ và $ HF⊥SE $ tại $ F $. Vì $ SH⊥\left ( { ABCD } \right ) $ nên $ d\left ( { H,\left ( { SDK } \right ) } \right )=HF $. Và góc giữa $ SB $ và mặt phẳng $ \left ( { ABCD } \right ) $ là $ \widehat { SBH }=45 ^ { o } $. $ ⇒SH=HB=\sqrt[] { AH ^ { 2 } +AB ^ { 2 } }=\sqrt[] { 2 } $. Ta có $ \frac { 1 } { HF ^ { 2 } }=\frac { 1 } { SH ^ { 2 } }+\frac { 1 } { HE ^ { 2 } }=\frac { 1 } { SH ^ { 2 } }+\frac { 1 } { HD ^ { 2 } }+\frac { 1 } { HK ^ { 2 } }=\frac { 1 } { 2 }+\frac { 1 } { 1 }+\frac { 1 } { 1 }=\frac { 5 } { 2 } $. $ ⇒HF=\frac { \sqrt[] { 10 } } { 5 }≈0,63 $.