Cho hình chóp $ S.ABCD $có đáy $ ABCD $là hình vuông với $ AB=2 $. Biết rằng hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng $ \left ( { ABCD } \right ) $ là trọng tâm H của tam giác $ ABC $ và $ SH=\sqrt[] { 2 } $. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $ AC $ và $ SD $ là bao nhiêu ( không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm) ?

Gọi M là trung điểm của $ SB $; O là giao điểm của $ AC $ và $ BD $ nên O là trung điểm của $ BD $. Do $ OM $ là đường trung bình của tam giác $ SBD $ nên $ SD\,{ \rm{ // } }\,OM $ và $ OM⊂\left ( { AMC } \right ) $ nên $ SD\,{ \rm{ // } }\,\left ( { AMC } \right ) $. Khi đó: $ d\left ( { SD,AC } \right )=d\left ( { SD,\left ( { AMC } \right ) } \right )=d\left ( { S,\left ( { AMC } \right ) } \right )=d\left ( { B,\left ( { AMC } \right ) } \right ) $ (M là trung điểm của $ SB $). Gọi K là trung điểm của $ HB $. Khi đó $ MK=\frac { 1 } { 2 }SH=\frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 } $ và $ MK\,{ \rm{ // } }\,SH $ nên $ MK⊥\left ( { ABCD } \right ) $. Mà $ OB=\frac { 3 } { 2 }OK $ nên $ d\left ( { B,\left ( { AMC } \right ) } \right )=\frac { 3 } { 2 }d\left ( { K,\left ( { AMC } \right ) } \right ) $. Mặt khác $ OK=OB-KB=OB-\frac { 1 } { 2 }HB=OB-\frac { 1 } { 3 }OB=\frac { 2 } { 3 }OB=\frac { 2\sqrt[] { 2 } } { 3 } $. Vậy $ d\left ( { SD,AC } \right )=\frac { 3 } { 2 }d\left ( { K,\left ( { AMC } \right ) } \right )=\frac { 3 } { 2 }\frac { MK.OK } { \sqrt[] { MK ^ { 2 } +OK ^ { 2 } } }=\frac { 3\sqrt[] { 2 } } { 5 }≈0,85 $.