Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình thoi với $ \widehat { ABC }=60° $ và $ AB=2 $. Biết rằng hình chiếu vuông góc của $ S $ trên mặt phẳng $ \left ( { ABCD } \right ) $ là trọng tâm $ H $ của tam giác $ ABC $ và $ SH=\sqrt[] { 3 }. $ Khoảng cách giữa hai đường thẳng $ AC $ và $ SD $ bằng bao nhiêu (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)?

Gọi $ O $ là tâm hình thoi $ ABCD $, $ K $ nằm trên đoạn $ SH $ sao cho $ HK=\frac { 1 } { 4 }SH=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 4 }. $ Ta có $ SD\,{ \rm{ // } }\,OK⇒SD\,{ \rm{ // } }\,\left ( { ACK } \right ) $ và $ AC⊂\left ( { ACK } \right ) $. Suy ra $ d\left ( { SD,AC } \right )=d\left ( { SD,\left ( { ACK } \right ) } \right )=d\left ( { S,\left ( { ACK } \right ) } \right )=3d\left ( { H,\left ( { ACK } \right ) } \right ) $. Kẻ $ HI⊥OK\,\,\left ( { I\in OK } \right )⇒HI⊥\left ( { ACK } \right )⇒d\left ( { H,\left ( { ACK } \right ) } \right )=HI $. Tam giác $ ABC $ đều nên có $ BO=\frac { AB\sqrt[] { 3 } } { 2 }=\sqrt[] { 3 } $, $ HO=\frac { 1 } { 3 }BO=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 3 } $. $ HI=\frac { HK.HO } { \sqrt[] { HK ^ { 2 } +HO ^ { 2 } } }=\frac { \frac { \sqrt[] { 3 } } { 4 }.\frac { \sqrt[] { 3 } } { 3 } } { \sqrt[] { \frac { 3 } { 16 }+\frac { 3 } { 9 } } }=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 5 }⇒d\left ( { SD,AC } \right )=\frac { 3\sqrt[] { 3 } } { 5 }≈1,04. $