Trắc nghiệm · Câu 82
(HSG Hải Phòng 2025) Người ta dự định làm một hầm rượu có dạng hình chóp cụt đều có hai cạnh đáy là $ 7\,{ \rm{ m } } $ và $ 5\,{ \rm{ m } } $; mặt bên và đáy nhỏ tạo thành góc nhị diện có số đo bằng $ 120° $ (tham khảo hình vẽ bên). Thể tích của hầm rượu trên bằng bao nhiêu mét khối (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Chọn một đáp án để kiểm tra ngay.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án đúng
A.
$ 62,93 $
Lời giải
Chọn A
Gọi hình chóp cụt đều là $ ABCD.A'B'C'D' $.
Gọi $ O $, $ O' $ là tâm của hình vuông $ ABCD $ và $ A'B'C'D' $.
Gọi $ H $, $ H' $ là trung điểm của $ CD $ và $ C'D' $.
Kẻ $ H'K⊥OH $.
Ta có $ O'H'⊥C'D' $ và $ HH'⊥C'D' $.
Suy ra $ \widehat { O'H'H } $ là góc phẳng nhị diện tạo bởi mặt bên và đáy nhỏ.
$ ⇒ \widehat { O'H'O }=120°. $
$ ⇒ \widehat { H'HO }=60° $.
$ ΔH'HK $ vuông tại $ K $ có $ \tan \widehat { H'HK }=\frac { H'K } { HK } $.
$ ⇒H'K=HK⋅\tan60° $.
$ ⇒OO'=\left ( { OH-OK } \right )⋅\sqrt[] { 3 } $.
$ ⇒OO'=\left ( { OH-O'H' } \right )⋅\sqrt[] { 3 } $.
$ ⇒OO'=\left ( { \frac { 1 } { 2 }⋅7-\frac { 1 } { 2 }⋅5 } \right )⋅\sqrt[] { 3 }=\sqrt[] { 3 } $.
Thể tích của hầm rượu là: $ V=\frac { 1 } { 3 }⋅OO'⋅\left ( { S_{ ABCD } +S_{ A'B'C'D' } +\sqrt[] { S_{ ABCD } ⋅S_{ A'B'C'D' } } } \right ) $
$ =\frac { 1 } { 3 }⋅\sqrt[] { 3 }⋅\left ( { 7 ^ { 2 } +5 ^ { 2 } +\sqrt[] { 7 ^ { 2 } ⋅5 ^ { 2 } } } \right ) ≈62,93\,\left ( { { \rm{ m } } ^ { { \rm{ 3 } } } } \right ). $