Trắc nghiệm · Câu 11
Cho hình vuông $ ABCD $ có cạnh bằng 4, chính giữa có một hình vuông đồng tâm với $ ABCD $. Biết rằng bốn tam giác là bốn tam giác cân. Hỏi tổng diện tích của hình vuông ở giữa và bốn tam giác cân nhỏ nhất bằng bao nhiêu?
Chọn một đáp án để kiểm tra ngay.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án đúng
C.
$ \frac { 16 } { 3 } $
Lời giải
Chọn C
Đặt $ AM=x\,\,\,\left ( { 0 < x < 4 } \right )⇒ME=4-2x $.
$ \begin{array}{l} 2MQ ^ { 2 } =\left ( { 4-2x } \right ) ^ { 2 } \\ ⇔MQ ^ { 2 } =2(2-x) ^ { 2 } \\ ⇔MQ=\sqrt { 2 }\left ( { 2-x } \right ) \end{array} $
Gọi $ S $ tổng diện tích của hình vuông ở giữa và bốn tam giác cân nhỏ.
$ S=4.\frac { MQ ^ { 2 } } { 2 }+PQ ^ { 2 } =2MQ ^ { 2 } +MN ^ { 2 } =(4-2x) ^ { 2 } +(x\sqrt[] { 2 }) ^ { 2 } =6x ^ { 2 } -16x+16 $
$ S'=12x-16=0⇔x=\frac { 4 } { 3 } $
Bảng biến thiên
Vậy $ S_{ \min } =\frac { 16 } { 3 } $