Cho nửa đường tròn đường kính $ AB=2 $ và hai điểm $ C $, $ D $ thay đổi trên nửa đường tròn đó sao cho $ ABCD $ là hình thang. Diện tích lớn nhất của hình thang $ ABCD $ bằng

Gọi $ H $ là hình chiếu vuông góc của $ D $ lên $ AB $, $ I $ là trung điểm của đoạn $ CD $ và $ O $ là trung điểm của $ AB $. Đặt $ DH=x $, $ 0 < x < 1 $. Ta có $ DC=2DI=2OH=2\sqrt[] { OD ^ { 2 } -DH ^ { 2 } }=2\sqrt[] { 1-x ^ { 2 } } $. Diện tích của hình thang $ ABCD $ là $ S=f\left ( { x } \right )=\frac { \left ( { AB+CD } \right )DH } { 2 }=\left ( { 1+\sqrt[] { 1-x ^ { 2 } } } \right )x $. Ta có $ f'\left ( { x } \right )=\frac { \sqrt[] { 1-x ^ { 2 } }+1-2x ^ { 2 } } { \sqrt[] { 1-x ^ { 2 } } } $. $ f'\left ( { x } \right )=0⇔\sqrt[] { 1-x ^ { 2 } }+1-2x ^ { 2 } =0 $ (*) Đặt $ t=\sqrt[] { 1-x ^ { 2 } } $, (điều kiện $ t\geq 0 $) khi đó phương trình (*) trở thành $ 2t ^ { 2 } +t-1=0⇔\left[ \begin{array}{l} t=-1 \\ t=\frac { 1 } { 2 } \end{array} \right. $. $ t=-1 $ loại. $ t=\frac { 1 } { 2 } $ ta có $ \sqrt[] { 1-x ^ { 2 } }=\frac { 1 } { 2 }⇔x ^ { 2 } =\frac { 3 } { 4 }⇔x=±\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 } $. Bảng biến thiên Vậy diện tích lớn nhất của hình thang $ ABCD $ bằng $ \frac { 3\sqrt[] { 3 } } { 4 } $.