Một người nông dân có 3 tấm lưới thép B40, mỗi tấm dài $ 12\left ( { m } \right ) $ và muốn rào một mảnh vườn dọc bờ sông có dạng hình thang cân $ ABCD $ như hình vẽ (bờ sông là đường thẳng $ DC $ không phải rào, mỗi tấm là một cạnh của hình thang). Hỏi ông ta có thể rào được mảnh vườn có diện tích lớn nhất là bao nhiêu $ m ^ { 2 } $?

Kẻ đường cao $ BH $, gọi số đo 2 góc ở đáy CD của hình thang là $ x,\,x\in \left ( { 0°;90° } \right ) $. Diện tích mảnh vườn là: $ S=\frac { 1 } { 2 }BH\left ( { AB+CD } \right )=\frac { 1 } { 2 }BC.\sin x\left ( { 2.AB+2BC.\cos x } \right )=\frac { 1 } { 2 }AB ^ { 2 } \left ( { 2\sin x+\sin 2x } \right ) $. Xét hàm số $ f\left ( { x } \right )=2\sin x+\sin 2x $ với $ \,x\in \left ( { 0 ^\circ ;90 ^\circ } \right ) $ có $ f'\left ( { x } \right )=2\cos x+2\cos 2x $. Ta có: $ f'\left ( { x } \right )=0⇔2\cos x+2\cos 2x=0⇔2\cos ^ { 2 } x+\cos x-1=0⇔\left[ \begin{array}{l} \cos x=\frac { 1 } { 2 } \\ \cos x=-1 \end{array} \right. $ Do $ \,x\in \left ( { 0 ^\circ ;90 ^\circ } \right ) $ nên ta nhận $ \cos x=\frac { 1 } { 2 }⇔x=60 ^\circ $. Ta có bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên ta thấy: $ \max_{ \left ( { 0 ^\circ ;90 ^\circ } \right ) } f\left ( { x } \right )= \frac { 3\sqrt { 3 } } { 2 } $ đạt được tại $ x=60 ^\circ $. $ \max S=108\sqrt { 3 }\,\left ( { m ^ { 2 } } \right ) $ khi góc ở đáy $ CD $ của hình thang bằng $ 60 ^\circ $ $ \left ( { \widehat { C }= \widehat { D }=60 ^\circ } \right ) $.