Anh Nam có một mảnh đất rộng và muốn dành ra một khu đất hình chữ nhật có diện tích $200\text{ m}^2$ để trồng vài loại cây mới. Anh dự kiến rào quanh ba cạnh của khu đất hình chữ nhật này bằng lưới thép, cạnh còn lại (chiều dài) sẽ tận dụng bức tường có sẵn. Do điều kiện địa lí, chiều rộng khu đất không vượt quá $15\text{ m}$, hỏi chiều rộng của khu đất này bằng bao nhiêu để tổng chiều dài lưới thép cần dùng là ngắn nhất (nghĩa là chi phí rào lưới thép thấp nhất)?

Lời giải Gọi $x$ (m) là chiều rộng của khu đất hình chữ nhật cần rào ($0 < x \leq 15$). Diện tích khu đất là $200\text{ m}^2$ nên chiều dài của khu đất là $\frac{200}{x}$ (m). Tổng chiều dài lưới thép rào quanh khu đất là: $$ L(x) = 2x + \frac{200}{x} $$ Xét hàm số $L(x) = 2x + \frac{200}{x}$ với $x \in (0; 15]$. Đạo hàm của hàm số: $$ L'(x) = 2 - \frac{200}{x^2} = \frac{2x^2 - 200}{x^2} $$ Giải phương trình $L'(x) = 0 \Leftrightarrow x^2 = 100 \Leftrightarrow x = 10$ (vì $x > 0$). Ta có: $$ L(10) = 2(10) + \frac{200}{10} = 20 + 20 = 40 $$ $$ L(15) = 2(15) + \frac{200}{15} = 30 + \frac{40}{3} = \frac{130}{3} \approx 43,33 $$ Vì $\lim_{x \to 0^+} L(x) = +\infty$, nên dựa vào bảng biến thiên, chiều dài lưới thép ngắn nhất là $40\text{ m}$ khi chiều rộng khu đất là $x = 10\text{ m}$.