Đúng/Sai · Câu 13
Ông Nam cần xây dựng một bể chứa nước có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp đậy để phục vụ cho việc tưới cây trong vườn. Do các điều kiện về diện tích vườn, ông Nam cần bể có thể tích là $ 36 m ^ { 3 } $, đáy bể có chiều dài gấp hai lần chiều rộng và chiều rộng không quá $ 4 m $, biết rằng chi phí vật liệu xây dựng mỗi mét vuông diện tích bề mặt là như nhau. Gọi $ x(m) $ là chiều rộng của bể, ta có $ 0 < x\leq 4 $. Khi đó
Chọn Đúng hoặc Sai cho từng ý.
Xem đáp án và lời giải
Kết quả từng mệnh đề
- a. Đúng
- b. Đúng
- c. Đúng
- d. Sai
Lời giải
a) Đúng b) Đúng c) Đúng d) Sai
Xem bể chứa có dạng hình hộp chữ nhật $ ABCD⋅A ^ { ′ } B ^ { ′ } C ^ { ′ } D ^ { ′ } $ như Hình.
Chiều dài của bể là $ 2x(m) $.
Gọi $ h( m) $ là chiều cao bể nước, ta có thể tích của bể là $ V=x⋅(2x)⋅h $.
Suy ra $ h=\frac { V } { 2x ^ { 2 } }=\frac { 36 } { 2x ^ { 2 } }=\frac { 18 } { x ^ { 2 } }( m) $.
Tổng diện tích các mặt cần xây là:
$ \begin{array}{ll} S & =S_{ ABCD } +2.S_{ ABB ^ { ′ } A ^ { ′ } } +2.S_{ BCC ^ { ′ } B ^ { ′ } } \\ & =2x ^ { 2 } +2.x⋅\frac { 18 } { x ^ { 2 } }+2.2x⋅\frac { 18 } { x ^ { 2 } }=2x ^ { 2 } +\frac { 108 } { x }. \\ \end{array} $
Xét hàm số $ S(x)=2x ^ { 2 } +\frac { 108 } { x }(0 < x\leq 4) $, ta có:
$ S ^ { ′ } (x)=4x-\frac { 108 } { x ^ { 2 } }=\frac { 4x ^ { 3 } -108 } { x ^ { 2 } }=\frac { 4(x-3)\left ( { x ^ { 2 } +3x+9 } \right ) } { x ^ { 2 } }. $ $ S ^ { ′ } (x)=0⇔x=3. $
Do $ x ^ { 2 } >0 $ và $ x ^ { 2 } +3x+9>0 $ khi $ x\in (0;4] $ nên dấu của $ S ^ { ′ } (x) $ trên $ (0;4] $ phụ thuộc dấu của biểu thức $ x-3 $.
Bảng biến thiên:
Chi phí vật liệu xây dựng thấp nhất khi tổng diện tích các mặt cần xây $ S(x) $ là nhỏ nhất. Dựa vào bảng biến thiên, ta có $ S(x) $ đạt giá trị nhỏ nhất tại $ x=3 $, suy ra $ h=2 $.
Vậy cần xây bể có chiều cao là 2(m).