Giả sử chi phí tiền xăng $C$ (đồng) phụ thuộc tốc độ trung bình $v$ (km/h) theo công thức: $C(v) = \frac{16000}{v} + \frac{5}{2}v$ ($0 < v \leq 120$). Để biểu diễn trực quan sự thay đổi của $C(v)$ theo $v$, người ta đã vẽ đồ thị hàm số $C(v)$ như hình bên. Tài xế xe tải lái xe với tốc độ trung bình là bao nhiêu để tiết kiệm tiền xăng nhất?

Lời giải Tập xác định: $D = (0; 120]$. Đạo hàm: $$ C'(v) = -\frac{16000}{v^2} + \frac{5}{2} = \frac{5v^2 - 32000}{2v^2} $$ Giải $C'(v) = 0 \Leftrightarrow 5v^2 = 32000 \Leftrightarrow v^2 = 6400 \Leftrightarrow v = 80$ (vì $v > 0$). Xét dấu đạo hàm: - Trên khoảng $(0; 80)$, $C'(v) < 0$ nên hàm số nghịch biến. - Trên khoảng $(80; 120)$, $C'(v) > 0$ nên hàm số đồng biến. Hàm số đạt cực tiểu tại $v = 80$. Giá trị cực tiểu là: $$ C(80) = \frac{16000}{80} + \frac{5}{2} \cdot 80 = 200 + 200 = 400 $$ Vậy để tiết kiệm tiền xăng nhất (chi phí thấp nhất), tài xế nên chạy xe với tốc độ trung bình là $80\text{ km/h}$.