Cho hàm số $ y=f\left ( { x } \right )=x ^ { 3 } -3x+4 $ và $ y=g\left ( { x } \right )=3x+1 $

a) S. Xét hàm số $ g\left ( { x } \right )=3x+1 $ trên đoạn $ \left[ -2;1 \right] $. Với mọi $ x\in \left[ -2;1 \right] $, ta có $ g\left ( { x } \right )=3x+1\geq -5 $; mặt khác $ g\left ( { -2 } \right )=-5 $. Do đó $ \mathop { \min } \limits_{ \left[ -2;1 \right] } g\left ( { x } \right )=-5 $. Vậy $ \mathop { \min } \limits_{ \left[ -2;1 \right] } g\left ( { x } \right )=-5 $. b) S. Ta có $ y'=3x ^ { 2 } -3 $. $ y'=0⇔\left[ \begin{array}{l} x=-1∉\left[ 0;2 \right] \\ x=1\in \left[ 0;2 \right] \end{array} \right. $. Ta có: $ y\left ( { 0 } \right )=4 $; $ y(1)=2 $; $ y\left ( { 2 } \right )=6 $. Vậy $ \mathop { \max } \limits_{ \left[ 0;2 \right] } f\left ( { x } \right )=6 $. c) S. Ta có $ y=x ^ { 3 } +5 $; $ y'=3x ^ { 2 } $. $ y'=0⇔x=0\in \left[ -1;1 \right] $. Ta có: $ y\left ( { -1 } \right )=4 $; $ y\left ( { 1 } \right )=6 $; $ y\left ( { 0 } \right )=5 $. Do đó $ \mathop { \max } \limits_{ \left[ -1;1 \right] } y=6 $ tại $ x=1 $ và $ \mathop { \min } \limits_{ \left[ -1;1 \right] } y=4 $ tại $ x=-1 $. d) Đ. Ta có $ m>0 $ suy ra $ m+1>1 $. Do đó trên đoạn $ \left[ m+1;\,m+2 \right] $ hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ luôn đồng biến. Khi đó $ \mathop { \min } \limits_{ \left[ m+1;\,m+2 \right] } y=\left ( { m+1 } \right ) ^ { 3 } -3\left ( { m+1 } \right )+4 $. Yêu cầu bài toán $ \mathop { \min } \limits_{ \left[ m+1;m+2 \right] } f\left ( { x } \right )=6 ⇔\left ( { m+1 } \right ) ^ { 3 } -3\left ( { m+1 } \right )-2=0 $ $ ⇔m ^ { 3 } +3m ^ { 2 } -4=0 ⇔\left[\begin{array}{l} m=1 \\ m=-2 \end{array}\right. $. Kết hợp điều kiện $ m>0 $ ta được $ m=1 $.