Một tấm kẽm hình chữ nhật $ ABCD $ có cạnh $ AB=30{ \rm{ cm } } $; $ BC=20{ \rm{ cm } } $. Người ta gập tấm kẽm theo hai cạnh $ EF $ và $ GH $ cho đến khi $ AD $ và $ BC $ trùng nhau như hình vẽ để được một hình lăng trụ khuyết hai đáy. Giá trị của $ x $ để thể tích khối lăng trụ lớn nhất là:

Có $ FH=30-2x $. Để tồn tại tam giác $ FCH $ thì $ \left \{ \begin{array}{l} x+x>30-2x \\ x+\left ( { 30-2x } \right )>x \end{array} \right.⇔\frac { 15 } { 2 } < x < 15 $. Gọi $ K $ là trung điểm $ FH $. Xét tam giác $ CFK $ vuông tại $ K $ ta có: $ CK=\sqrt[] { CF ^ { 2 } -FK ^ { 2 } }=\sqrt[] { x ^ { 2 } -\left ( { 15-x } \right ) ^ { 2 } }=\sqrt[] { 30x-225 } $. Diện tích tam giác $ CFH $ là $ S_{ CFH } =\frac { 1 } { 2 }FH.CK=\frac { 1 } { 2 }.\left ( { 30-2x } \right ).\sqrt[] { 30x-225 }=\left ( { 15-x } \right ).\sqrt[] { 30x-225 } $. Khi gập tấm kẽm ta được lăng trụ đứng có chiều cao cố định bằng $ 20{ \rm{ cm } } $ nên thể tích của nó lớn nhất khi diện tích đáy $ S_{ CFH } $ lớn nhất. Xét hàm số $ S\left ( { x } \right )=\left ( { 15-x } \right ).\sqrt[] { 30x-225 } $ trên khoảng $ \left ( { \frac { 15 } { 2 };15 } \right ) $. Có $ S'\left ( { x } \right )=-\sqrt[] { 30x-225 }+\left ( { 15-x } \right ).\frac { 30 } { 2\sqrt[] { 30x-225 } }=\frac { 450-45x } { \sqrt[] { 30x-225 } } $. Dễ thấy $ S'\left ( { x } \right )=0⇔x=10 $. Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy $ \mathop { \max } \limits_{ \left ( { \frac { 15 } { 2 };15 } \right ) } S\left ( { x } \right )=25\sqrt[] { 3 } $ khi $ x=10 $. Vậy thể tích khối lăng trụ lớn nhất khi $ x=10\,\mathrm{cm} $.