Đúng/Sai · Câu 14
Một tấm kẽm hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $30$ $cm$. Người ta gập tấm kẽm theo hai cạnh $EF$ và $GH$ cho đến khi $AD$ và $BC$ trùng nhau như hình vẽ bên để được một hình lăng trụ khuyết hai đáy. Khi đó:
Chọn Đúng hoặc Sai cho từng ý.
Xem đáp án và lời giải
Kết quả từng mệnh đề
- a. Đúng
- b. Sai
- c. Đúng
- d. Sai
Lời giải
a) Đúng
b) Sai
c) Đúng
d) Sai
Lời giải
Đường cao lăng trụ là $AD = AB = 30$ $cm$ (không đổi). Để thể tích lăng trụ lớn nhất chỉ cần diện tích đáy lớn nhất.
Gọi $I$ là trung điểm cạnh $EG \Rightarrow AI \perp EG$ trong tam giác $AEG$.
Khi đó $IG = 15 - x$ ($0 < x < 15$).
Có $AI = \sqrt{x^{2} - \left( \frac{30 - 2x}{2} \right)^{2}} = \sqrt{x^{2} - (15 - x)^{2}} = \sqrt{30x - 225}$, $x \in \left( \frac{15}{2}; 15 \right)$.
$$
S_{\Delta AEG} = \frac{1}{2} AI \cdot EG = \frac{1}{2} (30 - 2x) \sqrt{30x - 225} = (15 - x) \sqrt{30x - 225}
$$
Để $S_{AEG}$ lớn nhất, ta xét hàm $f(x) = (15 - x)^{2} (30x - 225) = (15 - x)^{2} \cdot 15(2x - 15)$.
Đạo hàm $f'(x) = 0$ ta được $x = 10$.
Vậy thể tích lăng trụ lớn nhất khi $x = 10$ ($cm$).
Thể tích lớn nhất:
$$
V_{\max} = 30 \cdot S_{AEG}(10) = 30 \cdot (15 - 10) \cdot \sqrt{30(10) - 225} = 30 \cdot 5 \cdot \sqrt{75} = 150 \cdot 5\sqrt{3} = 750\sqrt{3} \approx 1299 \neq 1250
$$