Đúng/Sai · Câu 15
Bác thợ hàn dùng một thanh kim loại dài $ 250\,\,{ \rm{ cm } } $ để uốn thành khung cửa sổ có dạng như hình vẽ. Gọi $ r $ là bán kính của nửa đường tròn, $ h $ là chiều cao của hình chữ nhật như hình vẽ bên.
Chọn Đúng hoặc Sai cho từng ý.
Xem đáp án và lời giải
Kết quả từng mệnh đề
- a. Đúng
- b. Đúng
- c. Sai
- d. Đúng
Lời giải
a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Đúng
* Gọi $ S_{ 1 } $, $ S_{ 2 } $ lần lượt là diện tích của nửa hình tròn và hình chữ nhật. Khi đó:
$ S_{ 1 } =\frac { 1 } { 2 }\pi r ^ { 2 } $; $ S_{ 2 } =2rh $; với $ 2h=250-\left ( { \pi r+2r } \right ) $ nên $ S_{ 2 } =250r-\pi r ^ { 2 } -2r ^ { 2 } $.
* Suy ra diện tích hình cần tìm $ S=\frac { 1 } { 2 }\pi r ^ { 2 } +250r-\pi r ^ { 2 } -2r ^ { 2 } =-\frac { 1 } { 2 }\pi r ^ { 2 } -2r ^ { 2 } +250r $.
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số $ S\left ( { r } \right )=-\frac { 1 } { 2 }\pi r ^ { 2 } -2r ^ { 2 } +250r $ với $ 0 < r < \frac { 250 } { \pi +2 } $.
* Ta có $ S'\left ( { r } \right )=-\left ( { \pi +4 } \right )r+250 $; $ S'\left ( { r } \right )=0⇔r=\frac { 250 } { \pi +4 } $. Đây là cực trị duy nhất của hàm số đồng thời $ S'\left ( { r } \right ) $ đổi dấu từ dương sang âm khi $ r $ qua $ \frac { 250 } { \pi +4 } $ nên hàm số đạt giá trị lớn nhất tại điểm này.