Trắc nghiệm · Câu 17
Một khúc gỗ có dạng hình khối nón có bán kính đáy bằng $ r=2{ \rm{ m } } $, chiều cao $ h=6{ \rm{ m } } $. Bác thợ mộc chế tác từ khúc gỗ đó thành một khúc gỗ có dạng hình khối trụ như hình vẽ. Gọi $ V $ là thể tích lớn nhất của khúc gỗ hình trụ sau khi chế tác. Giá trị của V là:
Chọn một đáp án để kiểm tra ngay.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án đúng
A.
$ V=\frac { 32 } { 9 }\pi \left ( { { \rm{ m } } ^ { { \rm{ 3 } } } } \right ) $.
Lời giải
Chọn A
Gọi $ r_{ t } $, $ h_{ t } $ lần lượt là bán kính và chiều cao của khối trụ.
Ta có: $ \frac { r_{ t } } { 2 }=\frac { 6-h_{ t } } { 6 }⇒2\left ( { 6-h_{ t } } \right )=6r_{ t } ⇔h_{ t } =6-3r_{ t } $.
Ta lại có: $ V=\pi r_{ t } ^{ 2 }.h_{ t } =\pi r_{ t } ^{ 2 }\left ( { 6-3r_{ t } } \right )=\pi \left ( { 6r_{ t } ^{ 2 }-3r_{ t } ^{ 3 } } \right ) $.
Xét hàm số $ f\left ( { r_{ t } } \right )=6r_{ t } ^{ 2 }-3r_{ t } ^{ 3 } $, với $ r_{ t } \in \left ( { 0;2 } \right ) $ có $ f'\left ( { r_{ t } } \right )=12r_{ t } -9r_{ t } ^{ 2 } $;
$ f'\left ( { r_{ t } } \right )=0⇔r_{ t } =\frac { 4 } { 3 } $.
Bảng biến thiên:
Dựa vào BBT ta có $ \max f\left ( { r_{ t } } \right )=\frac { 32 } { 9 } $ đạt tại $ r_{ t } =\frac { 4 } { 3 } $.
Vậy $ V=\frac { 32 } { 9 }\pi $.
Cách 2: $ V=\pi r_{ t } ^{ 2 }.h_{ t } =\pi r_{ t } ^{ 2 }\left ( { 6-3r_{ t } } \right )=12\pi \frac { r_{ t } } { 2 }\frac { r_{ t } } { 2 }\left ( { 2-r_{ t } } \right ) $. Áp dụng BĐT Co-si, V max khi
$ \frac { r_{ t } } { 2 }=2-r_{ t } ⇔r_{ t } =\frac { 4 } { 3 } $.