Tìm chiều dài bé nhất của cái thang để nó có thể tựa vào tường và mặt đất, ngang qua cột đỡ cao $ 4m $, song song và cách tường $ 0,5m $ kể từ gốc của cột đỡ như hình vẽ.

Đặt $ HC=x>0 $. Suy ra $ BC=x+0,5 $. Áp dụng định lí Thales, ta có $ \frac { HC } { BC }=\frac { MH } { AB }=\frac { x } { x+0,5 }{ \rm{ . } } $ Vậy $ AB=\frac { 4(x+0,5) } { x } $. Do tam giác $ ABC $ vuông tại $ B $ nên suy ra $ AC ^ { 2 } =AB ^ { 2 } +BC ^ { 2 } =(x+0,5) ^ { 2 } +\frac { 16(x+0,5) ^ { 2 } } { x ^ { 2 } }. $ Ta rút ra $ AC ^ { 2 } =\frac { (x+0,5) ^ { 2 } \left ( { x ^ { 2 } +16 } \right ) } { x ^ { 2 } }. $ Đặt $ f(x)=\frac { x ^ { 4 } +x ^ { 3 } +\frac { 65 } { 4 }x ^ { 2 } +16x+4 } { x ^ { 2 } }(x>0) $. Bài toán trở thành tìm $ \min f(x) $ với $ x>0 $. Ta có $ \begin{array}{ll} f ^ { ′ } (x) & =\frac { \left ( { 4x ^ { 3 } +3x ^ { 2 } +\frac { 65 } { 2 }x+16 } \right )x ^ { 2 } -2x\left ( { x ^ { 4 } +x ^ { 3 } +\frac { 65 } { 4 }x ^ { 2 } +16x+4 } \right ) } { x ^ { 4 } } \\ ⇔ & f ^ { ′ } (x)=\frac { 2x ^ { 4 } +x ^ { 3 } -16x-8 } { x ^ { 3 } }. \\ \end{array} $ Vậy $ f ^ { ′ } (x)=0⇔(x-2)(2x+1)\left ( { x ^ { 2 } +2x+4 } \right )=0⇔\left[ \begin{array}{l} x=2>0 \\ x=-\frac { 1 } { 2 } < 0. \\ \end{array} \right. $ Lập bảng biến thiên, ta có Dựa vào bảng biến thiên, ta có $ \min_{ x>0 } f(x)=f(2)=\frac { 125 } { 4 }{ \rm{ . } } $ Do đó, ta có $ \min AC=\sqrt{ \frac { 125 } { 4 } }=\frac { 5\sqrt{5} } { 2 }≈5,5902 $.