Một chủ trang trại nuôi gia cầm muốn rào thành 2 chuồng hình chữ nhật sát nhau và sát một con sông, một chuồng nuôi gà và một chuồng nuôi vịt. Biết rằng đã có sẵn $ 240 m $ hàng rào và cạnh bờ sông thì không phải rào. Hỏi diện tích lớn nhất có thể bao quanh chuồng là bao nhiêu?

Xét hình chữ nhật $ ABCD $ có các cạnh phải rào $ AB,BC $,$ CD,EF $ như hình vẽ. Đặt $ AB=x(x>0) $. Khi đó ta có $ BC=240-3x>0⇒x < 80 $. Diện tích hình chữ nhật $ ABCD $ là $ S=x(240-3x)=240x-3x ^ { 2 } . $ Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số $ f(x) $ với $ 0 < x < 80 $ Xét $ f(x)=240x-3x ^ { 2 } ⇒f ^ { ′ } (x)=240-6x,f ^ { ′ } (x)=0⇔x=40. $ Ta có $ f ^ { ′′ } (x)=-6 < 0,∀x\in (0;80). $ Do đó $ S_{\max}=\max_{ x\in (0;80) } f(x)=f(40)=4800⇔x=40 $. Vậy diện tích lớn nhất có thể bao quanh là $ 4800 m ^ { 2 } $.