Giả sử bạn là chủ của một xưởng cơ khí vừa nhận được một đơn đặt hàng là thiết kế một bồn chứa nước hình trụ có nắp với dung tích 20 lít. Để tốn ít nguyên vật liệu nhất thì chiều cao bồn nước lúc đó bằng bao nhiêu?

Gọi $ r,h\,(r,h>0) $ lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của khối trụ. Khi đó ta có $ V=\pi r ^ { 2 } h⇒h=\frac { V } { \pi r ^ { 2 } }. $ Để tốn ít nguyên vật liệu nhất, ta cần tìm $ r $ sao cho diện tích toàn phần của khối trụ nhỏ nhất. Ta có $ S_{ tp } =2\pi r ^ { 2 } +2\pi rh=2\pi r ^ { 2 } +2\pi r\frac { V } { \pi r ^ { 2 } }=2\pi \left ( { r ^ { 2 } +\frac { V } { \pi r } } \right ) $ Xét hàm số $ f(r)=r ^ { 2 } +\frac { V } { \pi r } $. Bài toán trở thành tìm $ \min_{ r>0 } f(r)=? $ Ta có $ f ^ { ′ } (r)=2r-\frac { V } { \pi r ^ { 2 } },f ^ { ′ } (r)=0⇔r=\sqrt[3] { \frac { V } { 2\pi } }⇒h=\sqrt[3] { \frac { 4V } { \pi } }. $ Lập bảng biến thiên, ta được Từ bảng biến thiên, ta rút ra $ \min_{ r>0 } f(r)=f\left ( { \sqrt[3] { \frac { V } { 2\pi } } } \right ) $ Đổi $ V=20 $ lít $ =0,02 m ^ { 3 } $. Khi đó $ h=\sqrt[3] { \frac { 4V } { \pi } }=\sqrt[3] { \frac { 4⋅0,02 } { \pi } }≈0,29 m $.