Một con cá hồi bơi ngược dòng nước để vượt một khoảng cách là $ 300 km $. Vận tốc dòng nước là $ 6( km/h) $. Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là $ v( km/h) $ thì năng lượng tiêu hao của cá trong $ t $ giờ được cho bởi công thức $ E(v)=cv ^ { 3 } t $ (trong đó $ c $ là hằng số dương, $ E $ được tính bằng đơn vị Jun). Cá bơi ngược dòng quãng đường $ 300 km $ trên trong khoảng thời gian $ t $ với vận tốc bằng bao nhiêu để năng lượng tiêu hao là thấp nhất?

Vận tốc khi cá bơi ngược dòng sẽ là $ v-6( km/h) $. Thời gian để bơi quãng đường $ 300 km $ là $ t=\frac { 300 } { v-6 }(h) $. Năng lượng tiêu hao là $ E(v)=300c\frac { v ^ { 3 } } { v-6 }(J) $. Do $ c>0⇒E(v)_{ \min } ⇔\frac { v ^ { 3 } } { v-6 }=(f(v))_{ \min } $. Với $ v>9 $, ta có $ f ^ { ′ } (v)=\frac { 3v ^ { 2 } (v-6)-v ^ { 3 } } { (v-6) ^ { 2 } }=\frac { 2v ^ { 3 } -18v ^ { 2 } } { (v-6) ^ { 2 } },f ^ { ′ } (v)=0⇔\left[ \begin{array}{l} v=0 \\ v=9. \\ \end{array} \right. $ Lập bảng biến thiên ta nhận $ v=9 $ (do $ v>6 $). Vậy để năng lượng tiêu hao là thấp nhất thì vận tốc là $ 9( km/h) $.