Trong một bài thực hành huấn luyện quân sự có một tình huống chiến sĩ phải bơi qua sông để tấn công mục tiêu ở ngay phía bờ bên kia sông. Biết rằng lòng sông rộng 100 m và vận tốc bơi của chiến sĩ bằng một phần ba vận tốc chạy trên bộ. Hãy cho biết chiến sĩ phải bơi bao nhiêu mét để đến được mục tiêu nhanh nhất? Biết dòng sông là thẳng, mục tiêu cách chiến sĩ 1 km theo đường chim bay và chiến sĩ cách bờ bên kia 100 m.

Question

Beedemy · Accepted Answer

D. $ 75\sqrt[] { 2 } $ Lời giải: Chọn D Gọi $A$ là mục tiêu, $B$ là vị trí chiến sĩ, $BD$ là đường bơi của chiến sĩ. Chọn một đơn vị độ dài là 100 m, suy ra $BC=1$, $AB=10$, $AC=3\sqrt[] { 11 }$. Gọi vận tốc bơi của chiến sĩ là một đơn vị vận tốc, thì vận tốc chạy của chiến sĩ là ba đơn vị vận tốc. Gọi $x$ là quãng đường chiến sĩ bơi, suy ra $BD=x$. Vậy quãng đường chiến sĩ chạy là $ AD=AC-CD=3\sqrt[] { 11 }-\sqrt[] { x ^ { 2 } -1 } $. Thời gian chiến sĩ đến được mục tiêu là: $ t=\frac { 3\sqrt[] { 11 }-\sqrt[] { x ^ { 2 } -1 } } { 3 }+\frac { x } { 1 }=\sqrt[] { 11 }-\frac { 1 } { 3 }\sqrt[] { x ^ { 2 } -1 }+x $. Xét hàm $ f\left ( { x } ight )=\sqrt[] { 11 }-\frac { 1 } { 3 }\sqrt[] { x ^ { 2 } -1 }+x $ có $ f'\left ( { x } ight )=1-\frac { 1 } { 3 }\frac { x } { \sqrt[] { x ^ { 2 } -1 } };\,f'\left ( { x } ight )=0⇔\left[ \begin{array}{l} x=\frac { 3\sqrt[] { 2 } } { 4 }\left ( { TM } ight ) \ x=-\frac { 3\sqrt[] { 2 } } { 4 }\left ( { L } ight ) \end{array} ight. $. BBT Vậy thời gian chiến sĩ đến mục tiêu ngắn nhất khi $x=\frac { 3\sqrt[] { 2 } } { 4 }$. Vậy chiến sĩ phải bơi $ \frac { 3\sqrt[] { 2 } } { 4 }.100=75\sqrt[] { 2 }\left ( { m } ight ) $.

Cùng dạng: Bài toán tối ưu thực tế: thiết kế, vật liệu, lợi nhuận, chi phí